010. Regular Expression Matching

@(leetcode解题思路)[DP]

问题

Implement regular expression matching with support for '.' and '*'.

'.' Matches any single character. '*' Matches zero or more of the preceding element.

The matching should cover the entire input string (not partial).

The function prototype should be: bool isMatch(const char s, const char p)

Some examples: isMatch("aa","a") → false isMatch("aa","aa") → true isMatch("aaa","aa") → false isMatch("aa", "a") → true isMatch("aa", ".") → true isMatch("ab", ".") → true isMatch("aab", "ca*b") → true

思路

这里面最复杂的操作是"*",这是个很可恶的操作,因为你永远不知道它多长。但是有一点,"*"不会单独出现,它一定是和前面一个字母或"."配成一对。看成一对后"X*",它的性质就是:要不匹配0个,要不匹配连续的“X”

题目的关键就是如何把这一对放到适合的位置。

考虑一个特殊的问题: 情况1: “aaaaaaaaaaaaaaaa"
"aaa"

情况2: “aaaaaaaaaaaaaaaa"
"aab"

在不知道后面的情况的时候,我如何匹配a*?

  • 最长匹配 显然不合适,这样后面的a就无法匹配上了

  • 匹配到和后面长度一样的位置,比如情况1,就是留3个a不匹配,让后面3个字母尝试去匹配。 这样看似合适,但是遇到情况2就不行了。

  • 回溯,每种"*"的情况我都匹配一次,看哪种情况能成功,如果其中出现了问题,马上回溯,换下一种情况

思路1——回溯

如果“*”不好判断,那我大不了就来个暴力的算法,把“”的所有可能性都测试一遍看是否有满足的,用两个指针i,j来表明当前s和p的字符。 我们采用从后往前匹配,为什么这么匹配,因为如果我们从前往后匹配,每个字符我们都得判断是否后面跟着“”,而且还要考虑越界的问题。但是从后往前没这个问题,一旦遇到“*”,前面必然有个字符。</font>

  • 如果j遇到"*",我们判断s[i] 和 p[j-1]是否相同,
    • 如果相同我们可以先尝试匹配掉s的这个字符,i--,然后看之后能不能满足条件,满足条件,太棒了!我们就结束了,如果中间出现了一个不满足的情况,马上回溯到不匹配这个字符的状态。
    • 不管相同不相同,都不匹配s的这个字符,j-=2 (跳过“*”前面的字符)
      if(p[j-1] == '.' || p[j-1] == s[i])
      if(myMatch(s,i-1,p,j))
        return true;
      return myMatch(s,i,p,j-2);
      
  • 如果j遇到的不是“*”,那么我们就直接看s[i]和p[j]是否相等,不相等就说明错了,返回。
    if(p[j] == '.' || p[j] == s[i])
         return myMatch(s,i-1,p,j-1);
    else return false;
  • 再考虑退出的情况
    • 如果j已经<0了说明p已经匹配完了,这时候,如果s匹配完了,说明正确,如果s没匹配完,说明错误。
    • 如果i已经<0了说明s已经匹配完,这时候,s可以没匹配完,只要它还有"*"存在,我们继续执行代码。

所以代码应该是这样的:

class Solution {
public:
    static const int FRONT=-1;
    bool isMatch(string s, string p) {
        return myMatch(s,s.length()-1,p,p.length()-1);
    }
    bool myMatch(string s, int i, string p,int j)
    {
        if(j == FRONT)
            if(i == FRONT)    return true;
        else return false;
        if(p[j] == '*')
        {
            if(i > FRONT && (p[j-1] == '.' || p[j-1] == s[i]))
                if(myMatch(s,i-1,p,j))
                    return true;
            return myMatch(s,i,p,j-2);
        }
        if(p[j] == '.' || p[j] == s[i])
            return myMatch(s,i-1,p,j-1);
        return false;
    }
};

思路2——DP

DP的话,肯定要用空间换时间了,这里用 monkeyGoCrazy 的思路:用2维布尔数组,dp[i][j]的含义是s[0-i] 与 s[0-j]是否匹配。

  1. p.charAt(j) == s.charAt(i) : dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
  2. If p.charAt(j) == '.' : dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
  3. If p.charAt(j) == '*': here are two sub conditions:
    - if p.charAt(j-1) != s.charAt(i) : dp[i][j] = dp[i][j-2]  //in this case, a* only counts as empty
    - if p.charAt(j-1) == s.charAt(i) or p.charAt(i-1) == '.':
                     dp[i][j] = dp[i-1][j]    //in this case, a* counts as multiple a 
                     dp[i][j] = dp[i][j-1]   // in this case, a* counts as single a
                     dp[i][j] = dp[i][j-2]   // in this case, a* counts as empty
    

这里用的bool数组比较巧妙,初始化为true。前两种情况好理解,如果匹配成功就维持之前的真假值。程序的目的是看真值能不能传递下去。如果遇到三种情况,我们就看哪种情况有真值可以传递,就继续传递下去。

初始化

 dp[0][0] = true;
//初始化第0行,除了[0][0]全为false,毋庸置疑,因为空串p只能匹配空串,其他都无能匹配
for (int i = 1; i <= m; i++) 
    dp[i][0] = false; 
//初始化第0列,只有X*能匹配空串,如果有*,它的真值一定和p[0][j-2]的相同(略过它之前的符号)
for (int j = 1; j <= n; j++) 
    dp[0][j] = j > 1 && '*' == p[j - 1] && dp[0][j - 2];

图示

我用excel自己跑了下代码,画了一下示意图,下面橘黄色表示正常匹配了,蓝色表示“*”匹配空串。可以看出真值是如何传递下去的。

例1:"aaa" 和 正则式"aa"

Alt text

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例2:"aabc" 和 正则式"a*bc"

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例3:"aaaa" 和 正则式"a*b*"

Alt text

Alt text

代码执行

for(int i = 1;i <= n;i++)
{
    for(int j = 1;j <= m;j++)
    {
        //这里j-1才是正常字符串中的字符位置
        //要不*当空,要不就只有当前字符匹配了*之前的字符,才有资格传递dp[i-1][j]真值
        if(p[j-1] == '*')
            dp[i][j] = dp[i][j-2] || (s[i-1] == p[j-2] || p[j-2] == '.') && dp[i-1][j];
        else 
        //只有当前字符完全匹配,才有资格传递dp[i-1][j-1] 真值
            dp[i][j] = (p[j-1] == '.' || s[i-1] == p[j-1]) && dp[i-1][j-1];
    }
}

返回值

return dp[n][m]

完整代码

class Solution
{
public:
    static const int FRONT=-1;
    bool isMatch(string s, string p)
    {
        int m = s.length(),n = p.length();
        bool dp[m+1][n+1];
        dp[0][0] = true;
//初始化第0行,除了[0][0]全为false,毋庸置疑,因为空串p只能匹配空串,其他都无能匹配
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            dp[i][0] = false;
//初始化第0列,只有X*能匹配空串,如果有*,它的真值一定和p[0][j-2]的相同(略过它之前的符号)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            dp[0][j] = j > 1 && '*' == p[j - 1] && dp[0][j - 2];

        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
            //由于表格中是从1开始的,而字符串中是以0开始的,所以i-1和j-1才对应字符串中的字符。
                if (p[j - 1] == '*')
                {
                    dp[i][j] = dp[i][j - 2] || (s[i - 1] == p[j - 2] || p[j - 2] == '.') && dp[i - 1][j];

                }
                else   //只有当前字符完全匹配,才有资格传递dp[i-1][j-1] 真值
                {
                    dp[i][j] = (p[j - 1] == '.' || s[i - 1] == p[j - 1]) && dp[i - 1][j - 1];

                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

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