004. Median of Two Sorted Arrays[H]


题目

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively. Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

分析

这个题目是非常的常见,而且有特别多的变形。特别是在当前大数据的环境下,如何快速查找第i个元素有很现实的意义。

关注D&C方法的,直接看思路2

思路1

很简单的思路:就是遍历两个数组,在里面找到第i个大元素,这个应该还是比较简单的,时间复杂度O(m+n)。

用2个变量分别指向两个数组,每次取较小的一个,然后将其指针后移动。但是这里有个问题,就是奇偶判断,如果是奇数,中位数是num[mid],但是如果是偶数,是(num[mid]+num[mid-1])/2。这里我的做法是把num[mid]看作(num[mid]+num[mid])/2。如果是偶数-1,奇数-0。

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        if(nums1.size() == 0)
            return MedofArray(nums2);
        if(nums2.size() == 0)
            return MedofArray(nums1);    
        vector<int> num3;
        int size = (nums1.size()+nums2.size());
        int mid = size/2;
        int flag = !(size%2);
        int i,m1,m2,cur;
        double a,b;
        for(i = m1 = m2 = 0;i < size;i++)
        {   
            a = m1 < nums1.size()?nums1[m1]:INT_MAX;//过界处理
            b = m2 < nums2.size()?nums2[m2]:INT_MAX;//过界处理
            //cout<<i<<" a "<<a<<" b "<<b<<endl;
            if(a < b)
            {
                num3.push_back(nums1[m1]);
                m1++;
            }
            else
            {
                num3.push_back(nums2[m2]);
                m2++;
            }
            if(i == mid)
                break;
        }
        return (num3[mid]+num3[mid-flag])/2.0;
    }
    double MedofArray(vector<int>& nums)
    {
        int mid = nums.size()/2;
        int flag = !(nums.size()%2);
        return (nums[mid]+nums[mid-flag])/2.0;
    }
};

思路2

重点来了!!

这是一个很经典的Divide & Conquer的题目,关键就在如何划分。这里引用stellari 的高分答案,觉得他这个讲的特别好:

预备知识

先解释下“割”

我们通过切一刀,能够把有序数组分成左右两个部分,切的那一刀就被称为割(Cut),割的左右会有两个元素,分别是左边最大值和右边最小值。

我们定义L = Max(LeftPart),R = Min(RightPart)

Ps. 割可以割在两个数中间,也可以割在1个数上,如果割在一个数上,那么这个数即属于左边,也属于右边。(后面讲单数组中值问题的时候会说)

比如说[2 3 5 7]这个序列,割就在3和5之间

[2 3 / 5 7]

中值就是(3+5)/2 = 4

如果[2 3 4 5 6]这个序列,割在4上,我们可以把4分成2个

[2 3 (4/4) 5 7]

中值就是(4+4)/2 = 4

这样可以保证不管中值是1个数还是2个数都能统一运算。

割和第k个元素

对于单数组,找其中的第k个元素特别好做,我们用割的思想就是:

常识1:如果在k的位置割一下,然后A[k]就是L。换言之,就是如果左侧有k个元素,A[k]属于左边部分的最大值。(都是明显的事情,这个不用解释吧!)

双数组

我们设: CiC_i为第i个数组的割。 LiL_i为第i个数组割后的左元素. RiR_i为第i个数组割后的右元素。 Alt text

我们看如何从双数组里取出第k个元素

  1. 首先Li<=RiL_i <= R_i是肯定的(因为数组有序,左边肯定小于右边)
  2. 如果我们让L1<=R2L_1 <= R_2 && L2<=R1L_2 <= R_1 Alt text
  3. 那么左半边 全小于右半边,如果左边的元素个数相加刚好等于k,那么第k个元素就是Max(L1,L2),参考上面常识1。
  4. 如果 L1>R2,说明数组1的左边元素太大(多),我们把C1减小,把C2增大。L2>R1同理,把C1增大,C2减小。

假设k=3

对于

[1 4 7 9][1\ 4\ 7\ 9]

[2 3 5][2\ 3\ 5]

设C1 = 2,那么C2 = k-C1 = 1

[1 4/7 9][1\ 4/ 7\ 9]

[2/3 5][2/3\ 5]

这时候,L1(4)>R2(3),说明C1要减小,C2要增大,C1 = 1,C2=k-C1 = 2

[1/4 7 9][1/4\ 7\ 9]

[2 3/5][2\ 3/5]

这时候,满足了L1<=R2L_1 <= R_2 && L2<=R1L_2 <= R_1,第3个元素就是Max(1,3) = 3。

如果对于上面的例子,把k改成4就恰好是中值。

下面具体来看特殊情况的中值问题。

双数组的奇偶

中值的关键在于,如何处理奇偶性,单数组的情况,我们已经讨论过了,那双数组的奇偶问题怎么办,m+n为奇偶处理方案都不同,

让数组恒为奇数

有没有办法让两个数组长度相加一定为奇数或偶数呢?

其实有的,虚拟加入‘#'(这个trick在manacher算法中也有应用),让数组长度恒为奇数(2n+1恒为奇数)。

Ps.注意是虚拟加,其实根本没这一步,因为通过下面的转换,我们可以保证虚拟加后每个元素跟原来的元素一一对应

Alt text

映射关系

这有什么好处呢,为什么这么加?因为这么加完之后,每个位置可以通过/2得到原来元素的位置。

Alt text

在虚拟数组里表示“割”

不仅如此,割更容易,如果割在‘#'上等于割在2个元素之间,割在数字上等于把数字划到2个部分。

奇妙的是不管哪种情况:

Li = (Ci-1)/2
Ri = Ci/2

例:

  1. 割在4/7之间‘#',C = 4,L=(4-1)/2=1 ,R=4/2=2 刚好是4和7的原来位置!
  2. 割在3上,C = 3,L=(3-1)/2=1,R=3/2 =1,刚好都是3的位置!

剩下的事情就好办了,把2个数组看做一个虚拟的数组A,目前有2m+2n+2个元素,割在m+n+1处,所以我们只需找到m+n+1位置的元素和m+n+2位置的元素就行了。(在数组中是[m+n]和[m+n+1])

左边:A[m+n] = Max(L1+L2)
右边:A[m+n+1] = Min(R1+R2)

Mid = (A[m+n]+A[m+n+1])/2 = (Max(L1+L2) + Min(R1+R2) )/2

至于在两个数组里找割的方案,就是上面的方案。

分治的思路

有了上面的知识后,现在的问题就是如何利用分治的思想。

怎么分?

最快的分的方案是二分,有2个数组,我们对哪个做二分呢? 根据之前的分析,我们知道了,只要C1或C2确定,另外一个也就确定了。这里,为了效率,我们肯定是选长度较短的做二分,假设为C1。

怎么治?

也比较简单,我们之前分析了:就是比较L1,L2和R1,R2。

  • L1>R2,把C1减小,C2增大。—> C1向左二分
  • L2>R1,把C1增大,C2减小。—> C1向右二分

越界问题

如果C1或C2已经到头了怎么办? 这种情况出现在:如果有个数组完全小于或大于中值。可能有4种情况:

  • C1 = 0 —— 数组1整体都比中值大,L1 >R2,中值在2中
  • C2 = 0 —— 数组1整体都比中值小,L1 <R2,中值在1中
  • C1 = n*2 —— 数组1整体都比中值小,L1 <R2,中位数在2中
  • C2 = m*2 —— 数组1整体都比中值大,L1 >R2,中位数在1中

其实,如果我已经确定了数组1是最短的数组,那只有两种情况了,比较好处理:

  • 如果C1 = 0 —> 那么我们缩小L1,L1 = INT_MIN,保证判断正确。
  • 如果C1 = n*2 —> 那么我们增大R1,R1 = INT_MAX,保证判断正确。

代码

class Solution {
public:
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        if(nums1.size() == 0)
            return MedofArray(nums2);
        if(nums2.size() == 0)
            return MedofArray(nums1);
        int n = nums1.size();
        int m = nums2.size();
        if(n > m)   //保证数组1一定最短
            return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);
        int L1,L2,R1,R2,c1,c2,lo = 0, hi = 2*n;  //我们目前是虚拟加了'#'所以数组1是2*n+1长度
        while(lo <= hi)   //二分
        {
            c1 = (lo+hi)/2;  //c1是二分的结果
            c2 = m+n- c1;
            L1 = (c1 == 0)?INT_MIN:nums1[(c1-1)/2];   //map to original element
            R1 = (c1 == 2*n)?INT_MAX:nums1[c1/2];
            L2 = (c2 == 0)?INT_MIN:nums2[(c2-1)/2];
            R2 = (c2 == 2*m)?INT_MAX:nums2[c2/2];

            if(L1 > R2)
                hi = c1-1;
            else if(L2 > R1)
                lo = c1+1;
            else
                break;
        }
        return (max(L1,L2)+ min(R1,R2))/2.0;
    }
    double MedofArray(vector<int>& nums)
    {
        if(nums.size() == 0)    return -1;
        return (nums[nums.size()/2]+nums[(nums.size()-1)/2])/2.0;
    }
};

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